Το όραμά μου στην μαθηματική εκπαίδευση

 

Ο αριστοκρατισμός των μαθηματικών.

Ο Αlain Badiou στο βιβλίο του : «Εγκώμιο για τα μαθηματικά» περιγράφει αυτό που ονομάζει ως αριστοκρατισμό των μαθηματικών. Συγκεκριμένα θεωρεί ότι οι μαθηματικοί συχνά πιστεύουν ότι μόνο αυτοί μπορούν να καταλάβουν τα μαθηματικά και ότι είναι κάτι σαν προσωπικό πεπρωμένο τους. Επικοινωνούν μόνο με το σινάφι τους θεωρώντας ότι ανήκουν σε μια προνομιούχα τάξη αυτών που έχουν την υπεροχή να κατανοούν τα μαθηματικά. Δημιουργείται λοιπόν η αυταρέσκεια των μαθηματικών. Αυτή η κατάσταση υπεισέρχεται και στην σχολική τάξη διδασκαλίας. Εκεί αναζητούν ένα φίλτρο ανάμεσα σε αυτούς που μπορούν να καταλάβουν τα μαθηματικά και σε αυτούς που είναι ανίκανοι. Επικοινωνούν και ασχολούνται διδακτικά μόνο με τους πρώτους, πετώντας στον Καιάδα όλους τους υπόλοιπους. Ουσιαστικά είναι σαν να προσπαθούν να διαιωνίσουν το είδος της ανώτατης αριστοκρατικής τάξης τους και να δημιουργήσουν νέους κι άξιους μαθηματικούς απογόνους.  Κατά τον Badiou όμως το γεννολογικό πρόβλημα της διδασκαλίας είναι να πείσεις αυτούς στους οποίους απευθύνεσαι ότι τα μαθηματικά είναι συναρπαστικά και ενδιαφέροντα. Επίσης ότι τους αφορούν και έχουν ισχυρούς λόγους να ενδιαφερθούν γι’ αυτά. Αυτή η στάση προϋποθέτει όμως ότι απευθύνεσαι σε όλους κι ότι τα μαθηματικά ως επίτευγμα του ανθρώπινου πολιτισμού δεν μπορεί να αφορά μόνο τους λίγους. Ο Badiou τονίζει με έμφαση ότι πρέπει να σπάσουμε τον αριστοκρατισμό των μαθηματικών γιατί επιβάλλει μια επιζήμια και αξιοθρήνητη κατάσταση. Διαχωρίζει τον πληθυσμό  σε ένα κλειστό κύκλο ειδημόνων και μελλοντικών ειδημόνων που πανηγυρίζουν την ικανότητα τους και την ευφυΐα τους και στην πολυπληθή μάζα των υπολοίπων που ζουν μέσα σε μια γενική ακατανοησία και απέχθεια για τα μαθηματικά. Τα μαθηματικά είναι όμως επίτευγμα του ανθρώπινου πολιτισμού. Γι' αυτό είναι κοινό κτήμα κάθε ατόμου. Δεν είναι ένα κλειστό κύκλωμα γνώσεων μόνο για μερικά "φωτισμένα μυαλά". 

Η πάλη φορμαλισμού και ενορατισμού στην μαθηματική επιστήμη.

Tα μαθηματικά στο διάβα της ιστορικής τους πορείας πέρασαν από διάφορα εξελικτικά στάδια. Αρχικά υπηρετούσαν αποκλειστικά την επίλυση των πραγματικών προβλημάτων του ανθρώπου. Τον βοήθησαν να μετρά , να αναπαριστά μα να υπολογίζει τις εποχές , το χρόνο , να προβλέπει τις εκλείψεις της σελήνης και του ήλιου , να βρίσκει τα εμβαδά των γεωργικών εκτάσεων και τόσα άλλα. Το μυαλό μας πηγαίνει στο αξιοθαύμαστο έργο των γραφέων των αρχαίων Σουμερίων και Αιγυπτίων. Δεν είναι όμως η μοναδική φορά που τα μαθηματικά συνυφαίνονται με πρακτικές ενασχολήσεις. Τόσο στην ελληνική αρχαιότητα όσο και στα μεσαιωνικά χρόνια αλλά και αργότερα κατά τον 16ο – 18ο αιώνα μ.Χ συνέβη κάτι παρόμοιο. Ο υπολογισμός του ύψους κτιρίων ( Θαλής Μιλήσιος) , οι απαιτήσεις για μια ασφαλή ναυσισπλοϊα , η πρόοδος της αστρονομίας , η μελέτη των φυσικών μεγεθών και νόμων γίνονται προπομποί για μαθηματική παραγωγή. Η θεωρία των λόγων στα όμοια τρίγωνα για παράδειγμα ξεκινά από την προσπάθεια του Θαλή να υπολογίσει το ύψος της πυραμίδας του Χέοπα. Η ανάπτυξη της τριγωνομετρίας συμβαδίζει με την ναυσιπλοΐα. Η εμφάνιση του διαφορικού λογισμού με τον ορισμό της ταχύτητας ενός κινητού και τη μελέτη των φυσικών νόμων της κίνησης. Στα ελληνιστικά χρόνια η σύνδεση των μαθηματικών με πρακτικές εφαρμογές οδήγησε σε ένα τεχνολογικό θαύμα ποικίλων εφευρέσεων που συνδύαζαν την γνώση των μαθηματικών με τις πρακτικές ανάγκες του ανθρώπου. Η πρώτη ατμομηχανή , το αυτόματο άνοιγμα των θυρών , η φιλοσοφική λίθος , το αυτόματο σπονδείο με κερματοδέκτη , ο ηχητικός συναγερμός , η αιωρούμενη σφαίρα , ο αυτοελεγχόμενος θερμαντήρας νερού αποδίδονται στον Ήρωνα. Ο κατάλογος θα γίνει μακρύς αν επικαλεστούμε το βαθουκλό, τον λιθοβόλο γερανό , τον υδραυλικό κοχλία , το ατμοτηλεβόλο , το αραιόμετρο του Αρχιμήδη. 

   Στην ελληνική βέβαια αρχαιότητα πραγματοποιήθηκε η μεγάλη στροφή στην μαθηματική επιστήμη ως μια επιστήμη αποδεικτικού συλλογισμού. Με τον δίκαια ονομαζόμενο ως πατέρα των μαθηματικών ή ως του πρώτου μαθηματικού του Θαλή του Μιλήσιου έχουμε την πρώτη απόδειξη στα μαθηματικά. Έτσι τα μαθηματικά μετατράπηκαν σε «έξις αποδεικτική» όπως τα αποκαλούσε ο Αριστοτέλης. Ο Ευκλείδης αφήνει ως παρακαταθήκη την πρώτη ολοκληρωμένη πραγματεία γεωμετρίας και θεωρίας αριθμών στηριζόμενες σε ορισμούς , αξιώματα , θεωρήματα και αποδείξεις. Από τότε τον 19ο μ.Χ αιώνα έχουμε την εμφάνιση του μαθηματικού φορμαλισμού που οδήγησε στην απόλυτη τυποποίηση των μαθηματικών θεωριών αυστηρά δομημένων σε ένα αξιωματικό τυποκρατικό σύστημα. Εμφανίστηκαν θεωρίες που αντιβαίνουν στην κοινή διαίσθηση με μοναδική απαίτηση την μη αντιφατικότητα. Ακόμη θεωρίες που δεν είχαν και απαξιούσαν αν έχουν οποιαδήποτε σχέση με την πραγματικότητα και τις πρακτικές εφαρμογές. Είναι αυτά που ο Άγγλος μαθηματικός Hardy αποκάλεσε ως «άχρηστα μαθηματικά». Τα μαθηματικά εξελίχθηκαν πλέον σε ένα αυτόνομο και αξιόλογο επίτευγμα του ανθρώπινου πνεύματος που χαρακτηρίζεται από την λογική συγκρότηση και τον αποδεικτικό μηχανισμό συλλογισμού. Ως κάτι νέο και επαναστατικό ήταν αναμενόμενο να μονοπωλήσει για αρκετές δεκαετίες το μαθηματικό γίγνεσθαι. Οι πρακτικές ενασχολήσεις , οι πρακτικές εφαρμογές θεωρήθηκαν όχι μόνο υποδεέστερες αλλά ως μη μαθηματικά γεγονότα. 

Η ίδια πάλη μεταφέρεται στην μαθηματική εκπαίδευση.

Η μαθηματική εκπαίδευση ακολούθησε αυτές τις φιλοσοφικές τάσεις ακροβατώντας ανάμεσα σε δύο ακραίους δρόμους. Έναν του απόλυτου φορμαλισμού (μπουρμπακισμός) και έναν άλλον της χρησιμοθηρικής- πραγματιστικής μαθηματικής παιδείας (φιλανδικό εκπαιδευτικό σύστημα). Η φορμαλιστική θεώρηση των μαθηματικών πέρασε και στην μαθηματική εκπαίδευση με τον Nicola Bourbaki. Ο Nicola Bourbaki βέβαια δεν υπήρξε ποτέ ,ούτε ως μαθηματικός , ούτε πολύ περισσότερο ως φυσικό πρόσωπο. Ήταν το ψευδώνυμο με το οποίο παρουσιαζόταν μια ομάδα Γάλλων μαθηματικών. Λέγεται μάλιστα ότι το όνομα αυτό εμπνεύστηκε ο μαθηματικός – μέλος της ομάδας – Antre Weil από τον ανδριάντα του σταρτηγού Charles Denis Bourbaki (1816-1897) που υπήρχε στην είσοδο του πανεπιστημίου του Nancy από όπου περνούσε καθημερινά. Ο στρατηγός αυτός είχε ελληνικές ρίζες μια και πατέρας του ήταν ο συνταγματάρχης Κωνσταντίνος Βούρβαρχης τον οποίο αναφέρει και ο Μακρυγιάννης στα απομνημονεύματά του. Δημοσίευσαν μια σειρά από βιβλία μαθηματικών εισάγοντας στη Ευρώπη τα λεγόμενα «νέα μαθηματικά» που διακρινόταν για την αυστηρή συγκρότηση και την απόλυτη ακρίβεια. Δημοσίευαν τα βιβλία αυτά με το ψευδώνυμο Μπουρμπακί και μόνο σε μεγάλη ηλικία ξεσκέπασαν την ανωνυμία τους και αποκάλυψαν ποιοι είναι. Ο Μπουρμπακί εισήγαγε νέους αυστηρούς ορισμούς και νέους συμβολισμούς. Στόχος του δεν ήταν να παράγουν νέα μαθηματική γνώση αλλά να ανασυγκροτήσουν την υπάρχουσα σε ένα πιο αυστηρά δομημένο πλαίσιο. Ως πρότυπο του είχαν την αξιωματοποιημένη θεωρία συνόλων και τις φορμαλιστικές απόψεις του Hilbert. Γρήγορα τα βιβλία αυτά θα γνωρίσουν πολλές μεταφράσεις σε διάφορες ευρωπαϊκές γλώσσες και θα αποτελέσουν για χρόνια πρότυπα για όλα τα μαθηματικά διδακτικά εγχειρίδια. Ο μπουρμπακισμός ωφέλησε τα μαθηματικά σε μια διδακτική αξιωματική και αυστηρή δόμηση και δεν είναι τυχαίο ότι επιβλήθηκε για πολλές δεκαετίες στην διδασκαλία των μαθηματικών. Οδήγησε όμως και σε σοβαρές παρενέργειες στην διδασκαλία των μαθηματικών. Ο Kline Morris στο κλασικό πλέον βιβλίο του : «Γιατί ο Γιάννης δεν μπορεί να κάνει πρόσθεση» εξηγεί γιατί ένας μαθητής γνώριζε όλα τα αξιώματα που συγκροτούσαν το σύνολο των πραγματικών αριθμών και όλες τις ιδιότητες των πράξεων και τις αποδείξεις τους. Παρ’ όλα αυτά ήταν ανίκανος να εκτελέσει την πράξη της πρόσθεσης δύο φυσικών αριθμών και να επιλύσει απλά προβλήματα καθημερινής ζωής που απαιτούσαν μια απλή πρόσθεση. Αποτέλεσμα μιας διδασκαλίας απόλυτα φορμαλιστικής που έβλεπε τα μαθηματικά αυστηρά ως ένα σύστημα συνεπαγωγών και συλλογιστικού οικοδομήματος και απέρριπτε μετά βδελυγμίας κάθε πρακτική χροιά. Στην εποχή μας - κάτι που άρχισε βέβαια από τον 20αιώνα – η είσοδος του Η/Υ επέφερε μια νέα επιστημολογική ανανέωση. Περάσαμε στην φάση του «νεοενορατισμού» στα μαθηματικά. Οι αντιλήψεις των ρεαλιστικών μαθηματικών ξεπήδησαν στην Ολλανδία από τον H. Freudenthal και τους συνεργάτες του, στα πλαίσια του «Ινστιτούτου για την Ανάπτυξη της Μαθηματικής Εκπαίδευσης». Θεωρούν ότι τα μαθηματικά πρέπει διδάσκονται για να είναι χρήσιμα. Τα μαθηματικά αποτελούν εργαλείο οργάνωσης του φυσικού, κοινωνικού και νοητικού κόσμου. Σημείο εκκίνησης των ρεαλιστικών προβλημάτων είναι η άτυπη καθημερινή γνώση και τα ενδιαφέροντα των μαθητών. Ένα πρόβλημα μπορεί να έχει τη μορφή ενός λεκτικού προβλήματος, ενός παιχνιδιού, μιας ιστορίας ή παραμυθιού, να αναπαρίσταται από μοντέλα, σχήματα ή γραφήματα ή να αποτελεί συνδυασμό όλων των προηγούμενων. Μέσω της διαδικασίας της μαθηματικοποίησης οι μαθητές θα οικοδομήσουν σιγά σιγά, μέσα από την κατασκευή μοντέλων, έναν «μαθηματικό μικρόκοσμο», θα σχεδιάζουν προτεινόμενες λύσεις κι έτσι θα επανεφεύρουν τα τυπικά μαθηματικά. Διαφαίνεται πλέον ότι είναι εφικτός ένας γόνιμος συγκερασμός του αποδεικτικού φορμαλισμού με τα δεδομένα της εμπειρίας και της πραγματικότητας. Κάθε ένας από τους δύο πυλώνες της μαθηματικής πρακτικής είναι ισότιμος και δεν πρέπει να μονοπωλεί την μαθηματική ανωτερότητα έναντι του άλλου.Στην σύγχρονη εποχή με την διαδεδομένη χρήση του Η/Υ διανύουμε μια εποχή "νεοενορατισμού" στην διδασκαλία των μαθηματικών. Διαφαίνεται δηλαδή ότι μπορούμε να συγκεράσουμε την αποδεικτική εμπειρία ενός αξιωματικού τυπικού συστήματος με την εξυπηρέτηση των πρακτικών αναγκών της καθημερινής μας ζωής. Οι δύο αυτές συνιστώσες οφείλουν να συνεργάζονται αντί να προσπαθούν να επιβληθούν μονομερώς στο εκπαιδευτικό γίγνεσθαι. Επιστημολογικά άλλωστε η ελευθερία , η ποικιλομορφία και η πολλαπλότητα είναι οντολογικά χαρακτηριστικά του μαθηματικού γεγονότος.

Διδακτικές προτάσεις στο σύγχρονο σχολείο

Στην διδασκαλία των μαθηματικών καλό είναι  να γίνεται :

• η ιστορικογεννητική παρουσίαση των μαθηματικών εννοιών μελετώντας τα ιστορικά προβλήματα που τις γέννησαν. Έτσι διαφαίνεται η αναγκαιότητα εισαγωγής των εννοιών αυτών και κατανοούνται καλύτερα. Κατανοείται από τους μαθητές ότι τα μαθηματικά είναι μέρος της προβληματικής και της επίλυσης των πρακτικών αναγκών της κάθε εποχής. Είναι εργαλείο που χρησιμοποίησε ο άνθρωπος για να κατανοήσει , να αποκωδικοποιήσει τον κόσμο γύρω του και να επιλύσει καθημερινές ανάγκες του. Είναι λοιπόν κοινωνικό γεγονός με εξελικτική πορεία και αναγκαιότητα ύπαρξης.

• Επίσης η διδασκαλία των μαθηματικών πρέπει να συνυφαίνεται με βιωματικές και πειραματικές δράσεις. Με τον τρόπο αυτό οι μαθητές μετατρέπονται σε μικρούς ερευνητές που ακολουθούν τα βήματα των μεγάλων μαθηματικών κάθε εποχής. Κατανοούν τις πρακτικές ανάγκες που γέννησαν τις μαθηματικές θεωρίες και τις αντιλαμβάνονται πλέον ως κατακτήσεις του ανθρώπινου πολιτισμού. Η πορεία αυτή διδασκαλίας συμπληρώνει την ιστορικογεννητική παρουσίαση. Καταστεί τον κάθε μαθητή μέτοχο της μαθηματικής προβληματικής και με βιωματικό τρόπο τον φέρνει μπροστά στα προβλήματα και τις λύσεις που προτείνουν τα μαθηματικά. 
  

• Τρίτος πυλώνας είναι η διαδραστική και διερευνητική χρήση του Η/Υ με αξιοποίηση των λογισμικών δυναμικής γεωμετρίας και άλλων εποπτικών και ψηφιακών μέσων. Οι δράσεις βοηθούν στην ανακάλυψη των μαθηματικών ιδιοτήτων μέσα από τον πειραματισμό. Ο μαθητής καλείται να ανακαλύψει μόνος του τις μαθηματικές ιδιότητες χωρίς την επιβολή από την αυθεντία του διδάσκοντα ή του διδακτικού εγχειριδίου. Κάνει εικασίες , δοκιμάζει στρατηγικές και οδηγείται με την καθοδήγηση του διδάσκοντα σε διδακτικές καταστάσεις ανακάλυψης και επικύρωσης της νέας γνώσης. 

• Η ενσωμάτωση της μαθηματικής λογοτενίας στην μάχιμη διδακτική πράξη είναι επίσης μια συνιστώσα που προκαλεί το ενδιαφέρον των μαθητών για τα μαθηματικά, προβάλλει την ελκυστικότητα των μαθηματικών διεργασιών και συνεισφέρει στον εξανθρωπισμό των μαθηματικών. Κυρίως βοηθά στην καλύτερη εννοιολογική κατανόηση των μαθηματικών μέσα από διδακτικές καταστάσεις που ενεργοποιούν τον μαθητή.

• Η χρήση των μαθηματικών παιχνιδιών, μαθηματικών σπαζοκεφαλιών, διασκεδαστικών μαθηματικών στην διδασκαλία σπάνε την ασυτηρότητα της. Καθιστούν τα μαθηματικά περισσότερο προσιτά και ελκυστικά για τον μαθητή. Αρκεί βέβαια αυτή η ενασχόληση να είναι εναρμοσμένη στην επίτευξη συγκεκριμένων διδακτικών στόχων που προάγουν την μαθηματική κατανόηση.

• Η γνωστή ένσταση των μαθητών είναι: "που μας χρειάζονται όλα αυτά τα μαθηματικά στην ζωή μας;". Τα προβλήματα που συνήθως εµφανίζονται στα σχολικά βιβλία έχουν πολλές αδυναµίες. Χαρακτηρίζονται ως ψευδοπροβλήματα γιατί κυρίως δεν είναι χρήσιμα στην πραγματικότητα και στην καθημερινή ζωή μας. Στον αντίποδα μπορούμε να σχεδιάζουμε προβλήματα πραγματικής κατάστασης που έχουν πρακτικό ενδιαφέρον, συνδέονται με την πραγματικότητα που μας πειβάλλει. Μπορούν να μας απασχολήσουν στην καθημερινή μας ζωή. Πηγάζουν από την άμεση εμπειρία των μαθητών. Είναι προβλήματα μεγάλης έκτασης, ακριβώς γιατί περιγράφουν μια πραγματική κατάσταση και συχνά περιέχουν προσπέκτους εταιρειών , κείμενα από το διαδίκτυο , άρθρα σε εφημερίδες ή περιοδικά , ακαδημαϊκά κείμενα, μαγειρικές συνταγές κ.α.

• Όλα τα παραπάνω βέβαια οφείλουν να συνεργαστούν με την απαίτηση για μαθηματική αυστηρότητα αναδεικνύοντας έτσι την "αποδεικτική έξι" των μαθηματικών κατά τον Αριστοτέλη. Έτσι διαφαίνεται  ότι τα μαθηματικά εξελικτικά δεν παρέμειναν σε μια χρησιμοθηρική συνιστώσα. Εξελίχθηκαν σε ένα πρωτότυπο συλλογιστικό σύστημα απαρτισμένο από κανόνες λογικής συγκρότησης που τα κατέστησαν ως ένα αξιόλογο κι αυτόνομο επίτευγμα του ανθρώπινου πνεύματος. Οι μαθητές είδαν τα μαθηματικά ως ένα εξελικτικό αντικείμενο του ανθρώπινου πολιτισμού. Αντιλήφθηκαν και ζυμώθηκαν με τις πρακτικές ανάγκες  που τα γέννησαν. Πορεύτηκαν με την μαθηματική σκέψη των επιστημόνων και τις προτάσεις που κόμισαν στην μαθηματική επιστήμη. Είναι έτοιμοι τώρα να έρθουν σε επαφή με τα μαθηματικά ως φιλοσοφικό οικοδόμημα συλλογισμών και να κατανοήσουν τον αυτοτελικό χαρακτήρα των μαθηματικών ως ένα ξεχωριστό και ανεπανάληπτο οικοδόμημα της ανθρώπινης διανόησης. 

 Η μαθηματική πολλαπλότητα που υπαινιχθήκαμε πρωτύτερα μπορεί να συγκεράσει όλες τις παραπάνω μαθηματικές συνιστώσες στην μαθηματική εκπαίδευση με αποδοτικό αποτέλεσμα , χωρίς εκπτώσεις στην μαθηματική ασυτηρότητα και τον αποδεικτικό συλλογισμό. Στόχος η κατανόηση των μαθηματικών από τους μαθητές και μάλιστα από όλους τους μαθητές χωρίς διακρίσεις και αποκλεισμούς!